Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме - формула для самых ленивых
- 25 июня 07:45
- Инга Межевикина

В задачах ЕГЭ по математике часто встречаются подобные примеры. Суть решения проста: опишите прямоугольник вокруг фигуры и исключите из его площади все излишки.
Поскольку координаты вершин — целые числа, проблем с этим не возникнет. Вычислить площади прямоугольников и прямоугольных треугольников легко. Однако это утомительно и требует внимательности.
Представьте себе квадрат со стороной в 4 клетки. Необходимо определить площадь многоугольника. Сможете ли вы сделать это в уме за 15 секунд?
Существует быстрый метод вычисления площади, о котором почему-то мало кто знает. Теоретически, о нем должны рассказывать в школе, но это не обязательно. Возможно, учитель и упоминал о нем, но ученик мог пропустить это мимо ушей.
Помню случай: ко мне пришел ученик на занятия. Я спросил его о формулах сокращенного умножения, а он ответил:
— А мы этого не проходили?
— Как это не проходили? Вам точно об этом рассказывали! — удивился я.
— Наверное, я был болен в это время.
Получается, человек даже не потрудился изучить материал в учебнике, который он пропустил. Он думает, что если он отсутствовал на этих уроках, то и на экзамене его об этом не спросят? Или он ожидает, что учитель будет упрашивать его изучить пропущенную тему?
В общем, если есть люди, которые не беспокоятся о незнании формул сокращенного умножения, которые используются постоянно, то что говорить о формуле, которая вообще не применяется в школе. Даже если о ней и упоминали, большинство просто забыли ее. Это формула Пика.
Она была придумана и доказана австрийским математиком Георгом Пиком специально для случаев, когда необходимо найти площадь многоугольника, а координаты всех вершин целочисленны (то есть вершины находятся в узлах координатной плоскости).
Формула очень проста: S=В-1+Г:2, где В — количество узлов координатной плоскости внутри фигуры, а Г — количество узлов на границе многоугольника.
Давайте отметим точки на границе и внутри фигуры, подсчитаем их, подставим в формулу и получим результат.
Розовых точек — 14, следовательно, Г=14. Внутренних точек — 12, то есть В=12. Подставляем в формулу и получаем S=12-1+14:2=11+7=18. Вот и вся задача. Решается в уме за 15 секунд. Самое сложное — не ошибиться при подсчете точек. Задача уровня 2 класса. Можете, кстати, вычислить площадь традиционным способом, сравнить результаты и время, затраченное на решение.
Важно помнить, что эта формула работает только тогда, когда вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Поэтому обычные формулы площади все же не стоит забывать.